Metody numeryczne: Wzory Newtona-Cotesa

W analizie numerycznej wzory Newtona-Cotesa są zbiorem metod numerycznych całkowania, zwanego również kwadraturą. Nazwa pochodzi od Isaaca Newtona i Rogera Cotesa.

Przyjmujemy, że wartość funkcji f jest znana w równo oddalonych punktach x_i, dla i = 0, ..., n. Dla punktów oddalonych od siebie o inne odległości ma zastosowanie inna klasa wzorów,kwadratura gaussowska.

Jeżeli $a=x_0<x_1<x_2,\cdots <x_{n-1}<x_n=b$ są równo odległymi węzłami interpolacji funkcji f(x) (tj. $x_i$ są elementami dziedziny f, dla których znana jest wartość $f(x_{i })=y_i$ ), to całkę:

$\int\limits_a^b f(x) dx$

można aproksymować całką:

$\int\limits_a^b L_{n }(x) dx$

gdzie $L_{n }(x) dx$ jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a stopnia co najwyżej n, przybliżającym funkcję f(x) w węzłach interpolacji, tj.:

$L_{n }(x_{0 })=y(x_{0 }),L_{n }(x_{1 })=y(x_{1 }),\cdots ,L_{n }(x_{n })=y(x_{n })$

Niech $h_n = \frac {b-a}{n}$ oznacza długość kroku dzielącą dwa węzły interpolacji.

Wprowadzając zmienną t taką, że x=a+th można zapisać:

$L_{i }(x)=L_{n }(a+th)=\prod_{j = 0 \and j\ne i}^n \frac {t-j}{i-j}=g(t)$

Wtedy:

$\int\limits_a^b L_{n }(x) dx=\int\limits_a^b \sum_{i = 0}^n f(x_i)\cdot L_{i }(x) dx=$

$\sum_{i = 0}^n f(x_i)\cdot \int\limits_a^b L_{i }(x) dx$

$x=a+t\cdot h$ ,

$f(x_i)=f(a+i\cdot h)$

$x_i=a+i\cdot h$

dla $a=x_0$ t=0

dla $x_1$ t=1

$\cdots$

dla $b=x_n$ t=n

$dx=(x)'=1$

$dt=(a+t\cdot h)dt=(a+t\cdot h)'=h=dt$

Zmieniając zmienną, oraz granice całkowania otrzymuje się:

$\int\limits_a^b L_{i }(x)dx = h\cdot \int\limits_0^n g(t) dt$

Ostatecznie, wzór Newtona-Cotesa dla n+1 równo odległych węzłów przyjmuje postać:

$\int\limits_a^b f(x) dx = \int\limits_a^b L_{n }(x) dx = \sum_{i=0}^n f(x_{i }) \cdot \int\limits_a^b L_{i }(x=a+t\cdot h) dx = \sum_{i=0}^n f(x_{i }) \cdot h\cdot \int\limits_0^n \prod_{j=0 \and j\ne i}^n \frac {t-j}{i-j} dt$

Przyjmując za $A_i = h\cdot \int\limits_0^n \prod_{j=0 \and j\ne i}^n \frac {t-j}{i-j} dt$ (nazywane współczynnikami kwadratury Newtona-Cotesa), otrzymuje się: